Если функция (f(x)) определена в некоторой окрестности точки (x_) и имеет в точке (x_) производные всех порядков, то степенной ряд $$ f(x_) + sum_^<infty>frac(x_)>(x-x_)^label $$ называется рядом Тейлора функции (f) в точке (x_).
Пусть функция (f) регулярна в точке (x_), то есть представляется в некоторой окрестности точки (x_) сходящимся к этой функции степенным рядом $$ f(x) = sum_^<infty>a_(x-x_)^,quad |x-x_| < rho, rho >0.label $$ Тогда по теореме, доказанной здесь, функция (f) бесконечно дифференцируема в окрестности точки (x_), причем коэффициенты ряда eqref выражаются формулами $$ a_ = f(x_),quad a_ = frac(x_)>,quad n in mathbb.label $$ Таким образом, степенной ряд для функции (f(x)), регулярной в данной точке (a), совпадает с рядом Тейлора функции (f) в точке (a).
Если известно, что функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (a) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора eqref сходится при (x neq x_) к функции (f(x)).
Рассмотрим функцию (f(x) = e^>), (x neq 0), (f(0) = 0). Эта функция определена на (R), $$ f'(x) = frac>e^>, f″(x) = left(frac>-fracright)e^>quadmbox x neq 0,nonumber $$ откуда с помощью индукции легко показать, что $$ f^(x) = e^> Q_ left(fracright) mbox x neq 0,nonumber $$ где (Q_(t)) — многочлен степени (3n) от (t). Воспользуемся тем, что (displaystylelim_frac<|x|^
Так как (e^> neq 0) при (x neq 0), то сумма ряда Тейлора для функции (f) не совпадает с (f(x)) при (x neq 0). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки (x_ = 0).
Причина этого явления становится понятной, если функцию (f) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция (f(z) = e^>) не является непрерывной в точке (z = 0), так как (f(x) = e^> rightarrow 0) при (x rightarrow 0), a (f(iy) = e^> rightarrow +infty) при (y rightarrow 0).
Остаточный член формулы Тейлора
Пусть функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (x_). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд eqref. Обозначим $$ S_(x) = sum_^frac(x_)>(x-x_)^,label $$ $$ r_(x) = f(x)-S_(x)label $$ и назовем (r_(x)) остаточным членом формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_). Если существует $$ lim_ r_(x) = 0,label $$ то согласно определению сходимости ряда ряд eqref сходится к функции (f(x)) в точке (x), то есть $$ f(x) = sum_^<infty>frac(x_)>(x-x_)^.label $$
Если функции (f(x)), (f'(x)), …, (f^<(n + 1)>(x)) непрерывны на интервале (Delta = (x_-delta, x_ + delta)), где (delta > 0), то для любого (x in Delta) остаточный член формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_) можно представить:
- в интегральной форме$$ r_(x) = fracintlimits_>^ (x-t)^f^<(n + 1)>(t) dt;label$$
- в форме Лагранжа$$ r_(x) = frac(xi)><(n + 1)!>(x-x_)^,label$$ где (xi) принадлежит интервалу с концами (x_) и (x).
(circ) Формула eqref доказана в здесь. Докажем формулу eqref методом индукции. В силу равенств eqref и eqref нужно показать, что $$ f(x)-f(x_) = sum_^frac(x_)>(x-x_)^ + frac intlimits_
Воспользуемся равенством (displaystyleintlimits_>^ f'(t) dt = f(x)-f(x_)) и преобразуем его левую часть с помощью формулы интегрирования по частям: $$ intlimits_>^ f'(t) dt =-left.intlimits_>^ f'(t)d(x-t) = [-f'(x)(x-t)]right|_
Если функция (f) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (Delta = (x_-delta, x_ + delta)), то есть $$ exists M > 0: forall x in Delta rightarrow |f^(x)| leq M, n = 0,1,2,ldots,label $$ то функция (f) представляется сходящимся к ней в каждой точке интервала (Delta) рядом Тейлора eqref.
(circ) Пусть (x in (x_-delta, x_ + delta)). Тогда, используя формулу eqref и условие eqref, получаем $$ |r_(x)| leq M frac<|x-x_|^><(n + 1)!>.label $$
Так как (displaystylelim_ frac> = 0) для любого (a > 0) (пример разобран здесь), то из eqref следует, что выполняется условие eqref, то есть в точке (x) справедливо равенство eqref. (bullet)
Теорема 2 остается в силе, если условие eqref заменить следующим условием: $$ exists M > 0 exists C > 0: forall x in Delta rightarrow |f^(x)| leq MC^, n = 0, 1, 2, ldotsnonumber $$
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки (x_ = 0), то есть в ряд вида $$ f(x) = sum_^<infty>frac(0)>x^,label $$ который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты (displaystylefrac(0)>) разложения eqref для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в разделе про формулу Тейлора.
Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора
Пусть (f(x) = e^). Тогда для любого (x in (-rho, rho)), где (rho > 0), выполняются неравенства $$ 0 < f(x) < e^,quad 0 < f^(x) < e^, n in mathbb.nonumber $$ По теореме 2 ряд eqref для функции (f(x) = e^) сходится к этой функции на интервале ((-rho, rho)) при любом (rho > 0), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty). Так как для функции (f(x) = e^) выполняются равенства (f(0) = 1), (f^(0) = 1) для любого (n), то по формуле eqref получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции $$ e^ = sum_^<infty>frac>,label $$
Используя разложение eqref и формулы $$ operatorname x = frac + e^>,quad operatorname x = frac-e^>,nonumber $$ находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса: $$ operatorname x = sum_^<infty>frac>,label $$ $$ operatorname x = sum_^<infty>frac><(2n + 1)!>,label $$ Радиус сходимости каждого из рядов eqref, eqref (R = +infty).
Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора
Пусть (f(x) = sin x). Тогда (|f(x)| leq 1) и (|f^(x)| leq 1) для всех (n in mathbb) и для всех (x in R). По теореме 2 ряд eqrefдля функции (f(x) = sin x) сходится для любого (x in (-infty, +infty)), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty).
Если (f(x) = sin x), то (f(0) = 0), (f^(0) = 0), (f'(0) = 1), (f^<(2n + 1)>(0) = (-1)^) для любого (n), и по формулеeqrefполучаем разложение синуса в ряд Маклорена: $$ sin x = sum_>^ <infty>frac<(-1)^><(2n + 1)!>x^.label $$
Пусть (f(x) = cos x). Тогда (|f(x)| leq 1), (|f^(x)| leq 1) для всех (n) и для всех (x in R), (f(0) = 1), (f'(0) = 0), (f^(0) = (-1)^) и, (f^<(2n + 1)>(0) = 0) для всех (n). По формуле eqref получаем $$ cos x = sum_^ <infty>frac<(-1)^>x^.label $$ Радиус сходимости каждого из рядов eqref и eqref (R = +infty).
Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора
(circ) Оценим остаточный член (r_(x)), пользуясь формулой eqref при (x_ = 0). Преобразуем эту формулу, полагая (t = tau x). Тогда (dt = x dtau), (1-x =x(1-tau)) и формула eqref примет вид $$ r_(x) = frac> intlimits_0^1 (1-tau) f^<(n + 1)>(tau x) dtau.label $$
Если (f(x) = ln(x + 1)), то по формуле eqref, используя равенство eqref, получаем $$ r_(x) = (-1)^x^ intlimits_0^1 frac<(1-tau)^><(1 + tau x)^> d tau.label $$
Пусть (|x| < 1). Тогда справедливы неравенства$$ |1 + tau x| geq 1-tau|x| geq 1-tau,label $$ $$ |1 + tau x| geq 1-|x|,label $$ так как (0 leq tau leq 1). Отсюда следует, что при любом (n in mathbb) выполняется неравенство $$ |1 + tau x|^ geq (1-tau)^(1-|x|).label $$
Используя неравенство eqref, из формулы eqref получаем следующую оценку остаточного члена: $$ |r_(x)| leq |x|^ intlimits_0^1 frac <1-|x|>= frac<|x|^><1-|x|>,nonumber $$ откуда следует, что (r_(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty), если (|x| < 1).
Пусть (x = 1). Тогда (1 + tau x = 1 + tau), ((1 + tau)^ geq 1), (1-tau geq 0), так как (0 leq tau leq 1). Поэтому из формулы eqref следует, что (|r_(1)| leq displaystyleintlimits_0^1 (1-tau)^dtau = frac), откуда получаем: (r_(1) rightarrow 0) при (n rightarrow infty).
Итак, если (x in (-1, 1]), то остаточный член (r_(x)) для функции (f(x) = ln (1 + x)) стремится к нулю при (n rightarrow infty), то есть ряд Маклорена сходится к (f(x)). (bullet)
Из формулeqrefи eqref получаем разложение функции (ln (1 + x)) в ряд Маклорена $$ ln (1 + x) = sum_^ <infty>frac> x^,label $$ радиус сходимости которого (R = 1).
Формула eqref справедлива при (x = 1), и поэтому $$ ln 2 = sum_^ <infty>frac> = 1-frac + frac-frac + ldots + frac> + ldotsnonumber $$ Заменяя в формуле eqref (x) на (-x), получаем $$ ln (1-x) =-sum_^ <infty>frac.label $$
Разложение степенной функции в ряд Тейлора
Пусть (f(x) = (1 + x)^). Если (alpha = 0), то (f(x) = 1), а если (alpha = n), где (n in mathbb), то (f(x)) — многочлен степени (n), который можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы: $$ f(x) = sum_^ C_^x^.nonumber $$ Покажем, что если (alpha notin mathbb) и (a neq 0), то функция (f(x) = (1 + x)^) представляется при каждом (x in (-1, 1)) сходящимся к ней рядом Маклорена $$ (1 + x)^ = sum_^ <infty>C_^x^,label $$ где $$ C_^ = 1,quad C_^ = frac<alpha(alpha-1)ldots(alpha-(n-1))>.label $$
(circ) Так как $$ f^<(n + 1)>(x) = alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)(1 + x)^,label $$ то по формуле eqref получаем $$ r_(x) = A_x^ intlimits_0^1 left(fracright)^ (1 + tau x)^ dtau,label $$ где $$ A_ = frac<alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)>. $$ Выберем число (m in mathbb) таким, чтобы выполнялось условие (|a| leq m). Тогда при всех (n geq m) справедливы неравенства $$ |A_| leq frac leq frac<(m + n)!> = (n + 1)ldots(n + m) leq (2n)^.label $$ Используя неравенства eqref и eqref, а также неравенство (|1 + tau x| leq 1 + |x|), получаем $$ 0 leq frac leq 1,label $$ $$ |1 + tau x|^leq beta(x)=left(1 + |x|)^,mbox alpha < 1,endright.label $$ Из формулы eqref и оценок eqref-eqref следует неравенство $$ |r_(x)| leq beta(x) 2^n^|x|^,label $$ которое справедливо при всех (n geq m) и для каждого (x in (-1, 1)).
Так как (displaystylelim_ frac>>) при (a > 1), то (displaystylelim_ frac><(1/|x|)^
В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы eqref—eqref, eqref-eqref и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.
Разложить в ряд Маклорена функцию (f(x)) и найти радиус сходимости (R) ряда, если:
- (displaystyle f(x) = frac>);
- (displaystyle f(x) = frac<sqrt>>);
- (displaystyle f(x) = frac-x-6>).
- (triangle) Используя формулу eqref, получаем ряд $$ frac> = sum_^ <infty>(-1)^x^,label$$ радиус сходимости которого (R = 1).
- Из равенства eqref следует, что (displaystylefrac<sqrt>> = sum_^ <infty>C_^x^), где $$ C_^ = frac<displaystyleleft(-fracright)left(-frac-1right)ldotsleft(-frac-(n-1)right)>= frac<(-1)^1cdot3ldots(2n-1)><2^n!> = frac<(-1)^(2n-1)!!><2^n!>.nonumber $$ Следовательно, $$ frac<sqrt>> = 1 + sum_^ <infty>frac<(-1)^(2n-1)!!><2^n!>x^, R = 1.label$$
- Так как (f(x) = displaystylefrac+ frac= frac<displaystyle2left(1 + frac
right)>-frac<displaystyle3left(1-frac right)>), то, применяя формулы eqref и eqref, получаем ряд $$ frac = sum_^ <infty>left(frac<(-1)^>>-frac>right)x^, R = 2. blacktrianglenonumber $$
Разложить в ряд Маклорена функции $$ operatorname x,nonumber $$ $$ operatorname x,nonumber $$ $$ ln(x + sqrt>),nonumber $$ и найти радиусы сходимости (R) рядов.
- (triangle) Почленно интегрируя ряд eqref, получаем $$ operatorname x = intlimits_0^x frac> = sum_^ <infty>(-1)^ frac>,quad R = 1.nonumber $$
- Заменяя в формуле eqref (x^) на (-x^), получаем $$ frac<sqrt<1-x^>> = 1 + sum_^ <infty>frac<2^n!>x^,quad R = 1.nonumber $$ откуда следует, что $$ operatorname x = intlimits_0^x frac<1-t^> = x + sum_^ <infty>frac<2^n!(2n + 1)>x^, R = 1.nonumber $$
- Почленно интегрируя ряд eqref, получаем $$ ln(x + sqrt<1 + x^>) = intlimits_0^x frac> = x + sum_^ <infty>frac<(-1)^(2n-1)!!><2^n!(2n + 1)>x^, R = 1. blacktrianglenonumber $$
Разложить в ряд Тейлора в точке (x_ = 2) функцию (f(x) = ln(4 + 3x-x^)).
(triangle) Так как (4 + 3x-x^ = -(x-4)(x + 1)), то, полагая (t = x-2), получаем $$ f(x) = ln(4-x)(x + 1) = g(t) = ln(2-t)(3 + t) = ln 6 + lnleft(1-fracright) + lnleft(1 + fracright).nonumber $$ Используя формулы eqref и eqref, отсюда находим $$ g(t) = ln 6-sum_^ <infty>frac>> + sum_^ <infty>fract^>,quad |t| < 2.nonumber$$ Следовательно, $$ ln(4 + 3x-x^) = ln 6 + sum_^ <infty>left(frac>-frac<2^>right)frac<(x-2)^>, R = 2. blacktrianglenonumber $$
Элементарные функции комплексного переменного
Используя равенства eqref и формулы eqref, eqref, находим $$ frac + e^> = cos z, frac-e^> = sin z,label $$ откуда следует, что $$ e^ = cos z + i sin z.label $$ Полагая в формуле eqref (z = z_) и (z = z_). и перемножая соответствующие ряды, можно показать, что $$ e^
Пусть (z = x + iy), где (x in R), (y in R). Тогда из равенства eqref и формулы eqref находим $$ e^ = e^ = e^(cos y + i sin y).label $$ Из формулы eqref следует, что $$ e^ = e^,nonumber $$ то есть (e^) — периодическая функция с периодом (2pi i). Поэтому для каждого комплексного (z neq 0) уравнение $$ e^ = zlabel $$ имеет бесконечное множество решений вида (w + i2pi n), где (w) — одно из решений уравнения eqref, (n in Z).
Если (w = u + iv), то (z = e^ = e^(cos v + i sin v)), откуда получаем $$ |z| = e^,quad u = ln |z|,quad v = arg z.nonumber $$
Пусть (varphi) — какое-нибудь значение аргумента числа (z). Тогда $$ v = varphi + 2pi n, n in Z.nonumber $$ Таким образом, все решения уравнения eqref, если их обозначить символом (operatorname z), задаются формулой $$ operatorname z = ln |z| + i(varphi + 2pi n),label $$ где (varphi) — одно из значений аргумента числа (z) ((z neq 0)), (n in Z).
По заданному значению (z) значение (w) из уравнения eqref определяется, согласно формуле eqref, неоднозначно (говорят, что логарифмическая функция (operatorname z) является многозначной).
Пример 4.
Разложить в степенной ряд в окрестности точки (z = 0) функцию (f(z) = e^sin z).
Решение.
(triangle) Используя формулы eqref и eqref, получаем $$ f(z) = e^left(frac-e^>right) = frac(e^-e^).nonumber $$ Так как (1 + i = sqrte^), (1-i = sqrte^<-ipi/4>), то по формуле eqref находим $$ f(z) = sum_^ <infty>frac> left(frac-e^<-ipi n/4>>right)z^,nonumber $$ откуда в силу второго из равенств eqref следует, что $$ e^sin z = sum_^ <infty>frac> sin frac<pi n>z^.nonumber $$ Радиус сходимости ряда (R = +infty). (blacktriangle)
Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений
Продолжаем рассматривать теорию и практику степенных рядов. Материал несложный, но для его понимания необходимо уже более или менее хорошо ориентировать в теме. Если Вы только-только приступили к изучению рядов или чувствуйте себя чайником, пожалуйста, начните с урока Ряды для чайников. Примеры решений. Далее следует прочитать статью Степенные ряды.
Область сходимости ряда, в частности, Вы должны хорошо понимать, что такое степенной ряд и его область сходимости. А для целей сегодняшнего урока потребуется методический материал Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды, его можно раздобыть в кладовке Математические формулы и таблицы. По возможности, таблицу лучше распечатать, поскольку она потребуется не только сейчас, но и в оффлайне.
Понятие суммы степенного ряда
Начнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:
На уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :
Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться.
Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:
Область сходимости ряда:
(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
Теперь вспоминаем школьный график синуса :
Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….
Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд сходится к функции . Используя признак Даламбера (см. статью Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко проверить, что ряд сходится при любом «икс»: (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).
А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке).
Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд сходится к функции при любом значении «икс».
Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:
Область сходимости ряда:
Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена существует и совпадает с графиком арктангенса только на отрезке (т.е. в области сходимости ряда):
Вне отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, и о графике речи не идёт вообще, поскольку каждое значение бесконечного многочлена бесконечно .
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:
– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению; – разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.
Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём. После чего я рекомендую не затягивать и в ближайшие часы-дни (пока свежи воспоминания) потренироваться в нахождении суммы степенного ряда.
Разложение функций в степенной ряд.Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.
Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:
Примечания: надстрочный индекс в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .
Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).
На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :
Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .
Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:
Как оно получилось? По формуле Маклорена:
Рассмотрим функцию , тогда:
Теперь начинаем находить производные в точке : первую производную, вторую производную, третью производную и т.д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:
Совершенно очевидно, что
Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!
Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).
Примеры разложения функций в ряд Маклорена
В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.
Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.
! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням
Решение незамысловато, главное, быть внимательным.
Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:
В данном случае :
Раскрываем наверху скобки:
Теперь умножаем обе части на «икс»:
В итоге искомое разложение функции в ряд:
Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Это пример для самостоятельного решения.
Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде , или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , , и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.
А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
В таблице находим похожее разложение:
Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:
Таким образом, и:
Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при . В данном случае :
Так как квадрат неотрицателен, то при раскрытии модуля знак «минус» просто испаряется:
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. Значения , не входят в область определения функции , но как мы видели в Примере 2, в «проблемной» точке САМ РЯД сходиться может. И поэтому от греха подальше лучше выполнить прямую подстановку концов интервала в найденное разложение. При получаем: – расходящийся гармонический ряд. И он же получается при
Таким образом, область сходимости ряда:
Но так бывает далеко не всегда:
Простейшее разложение из учебника сходится ещё в одной точке: . Здесь значение тоже вне игры, а вот при сумма получившегося знакочередующегося ряда в точности равна .
Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:
– сходится уже на обоих концах интервала: (при подстановках , получается тот же самый сходящийся ряд )
Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!
Пара примеров для самостоятельного решения:
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Пляска традиционно начинается от «главной» функции, то есть, начинать нужно с экспоненты.
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Здесь разложение не такое сложное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.
Полные решения и ответы в конце урока.
Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовать. Канонический случай – это разложение функции . Перед тем как ее раскладывать в ряд, необходимо понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы: . Решать я этот пример не буду, поскольку он довольно простой, к тому же что-то подобное мы недавно рассмотрели.
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:
Во-первых, вверху должна быть единица, поэтому представляем нашу функцию в виде произведения: Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки:
И сокращаем на два:
В данном случае , таким образом:
В итоге искомое разложение:
Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и надежным путем – использовать признак Даламбера для полученного степенного ряда , т.е. найти интервал сходимости и т.д. Но можно поступить проще. В таблице указано, что биномиальный ряд сходится при . В данном случае , поэтому:
Умножаем все части неравенства на : – интервал сходимости полученного ряда. Что происходит с рядом на концах интервала?
При получаем: – данный ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости,
и при: – расходится по той же причине.
Таким образом, область сходимости полученного ряда:
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Указание: предварительно функцию следует упростить, используя свойство логарифмов:
Это пример для самостоятельного решения.
Разложение функций в ряд Маклорена необходимо проводить и в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, можно посмотреть примеры других разложений, которые не поместились в этот урок.
Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням , когда
Данное задание является более сложным и встречается значительно реже, но всё-таки 2-3 примера не помешают. Пригодится.
Вытащим из чулана общую формулу Тейлора:
Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву .
В чём сложность разложения функции по степеням при ненулевом значении «а»? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить и вычислять производные. Или не придётся. Но сначала разберём универсальный «классический» метод с производными.
Очень хорошо если вы проработали урок Производные высших порядков, впрочем, я постараюсь максимально подробно закомментировать оставшиеся задачи.
И сразу небольшой Пример 8
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням
В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее. Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:
, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.
Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:
Готово. Для проверки можно раскрыть скобки:
Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.
Рассмотрим более содержательные примеры.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.
Решение: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням
Хех, опять предстоит ручная работа….
В данном случае:
Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:
А теперь проанализируем найденные производные:
Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.
Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:
Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , , и у вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:
Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:
Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Впрочем, из того соображения, что на концах интервала должны сократиться «двойки в степени эн», ответ нетрудно «углядеть» и устно: .
Теперь способ второй. Он основан на замене переменной. Итак, требуется разложить ту же функцию в ряд Тейлора по степеням , и мы проводим замену:
, откуда выражаем – и подставляем в нашу функцию:
при этом общая формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
и появляется возможность воспользоваться теми же табличными разложениями!
Таким образом, наша задача свелась к задаче предыдущего параграфа, представим полученную функцию в виде: и воспользуемся разложением: ., в данном случае :
, после чего вспоминаем о том, что и записываем искомое разложение:
, и проверочка заодно получилась.
Возникает вопрос: а зачем тогда возиться с производными? И ответ здесь такой: замена далеко не всегда приводит к желаемому результату, так, например, она совершенно бесполезна в Примере 8, и ещё много для каких функций. Поэтому главным и основополагающим методом следует считать прямое построение ряда через производные.
Заключительный пример для самостоятельного решения:
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.
В образце приведены оба способа решения.
Как ваш тонус? Я так и знал, что на высоте! – поэтому самое время потренироваться в нахождении сумм степенных рядов по известным разложениям. На следующем уроке много интересной и. неожиданной информации. Только не злоупотребляйте =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: используем разложение: . В данном случае Область сходимости ряда: .
! Примечание: здесь может сложиться впечатление, что из области сходимости ряда следует исключить точку , которая не входит в область определения функции, однако тут речь идёт об области сходимости ряда. А полученный ряд преспокойно сходится в точке – но не к исходной функции, а к изолированному значению: . Интересно отметить, что здесь функция терпит устранимый разрыв: и сумма степенного ряда непрерывна.
Пример 4: Решение: используем разложение: . В данном случае Конструируем функцию дальше: Окончательно: Ряд сходится при
Примечание: в точке ряд сходится не к исходной функции, а к нулю:
Пример 5: Решение: используем частный случай биномиального разложения: В данном случае Таким образом:
Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область сходимости полученного ряда. Есть длинный путь и есть короткий.
Путь короткий: биномиальный ряд сходится при (см. таблицу). В данном случае : . Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень: – интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость нашего ряда на концах найдённого интервала:
и на правом конце: Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости рядов. Таким образом, область сходимости ряда:
Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.
Пример 7: Решение: преобразуем функцию: Используем разложение: В данном случае Таким образом: Или в свёрнутом виде: Найдем область сходимости полученного степенного ряда. Согласно таблице, использованное разложение сходится при . В данном случае , поэтому: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: при – расходится;.
Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда:
Пример 10: Решение, способ первый: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням : В данном случае: … … Таким образом: Область сходимости полученного степенного ряда уже надоела =) Ответ: ряд сходится при .
Способ второй: проведём замену , выразим – и подставим в функцию: Используем разложение , в данной задаче :
обратная замена : – искомое разложение.
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Как вставлять формулы в "Ворде-2003": описание инструмента и примеры использования
Текстовый редактор Word позволяет создавать, редактировать, форматировать и наполнять тексты различными объектами. Например, формулами. Они необходимы студентам технических и экономических специальностей при оформлении дипломных или курсовых работ. Тому, как вставлять формулы в «Ворде» 2003 года, посвящена эта статья.
Вызов окна создания и редактирования формул
В этой версии редактора нет собственного инструмента для этой цели. В новых версиях этот недочет исправили. Поэтому, чтобы написать формулу в «Ворде-2003», требуется помощь стороннего приложения – Microsoft Equation 3.0. Оно устанавливается вместе с текстовым редактором.
Чтобы вставить в текст новую формулу, надо в меню «Вставка» выбрать пункт «Объект…». Это вызовет небольшое окно с перечислением возможных типов вставляемого объекта. В списке нужно выбрать «Microsoft Equation 3.0» и нажать «Ок».
Если же при попытке его запуска «Ворд» выдает ошибку – это значит, что редактор формул установился с ошибкой. Поэтому требуется переустановка программного пакета Office или редактора Word, если есть файл для отдельной установки.
Окно редактора формул в "Ворде-2003"
Оно очень похоже на текстовый редактор, но более аскетичное. У него нет множества панелей для быстрого вызова функций. Имеется только рабочий лист, строка стандартных меню, панель/окно для вставки математических символов, операторов, конструкций и строка состояния.
Строка стандартных меню
Так выглядит строка меню в окне , где в «Ворде-2003» формулы вставляются. Эта часть интерфейса включает в себя следующие разделы:
Содержит в себе только 2 пункта: «Обновить формулу» и «Выход».
Позволяет пользоваться стандартными «Выделить все», «Копировать», «Вставить» и «Вырезать». Но удобнее пользоваться привязанными к этим командам «горячими клавишами».
Отключает и включает отображение панели/окна вставки математических символов и масштабирует лист.
Позволяет выровнять формулу относительно краев листа. Более интересен пункт меню «Интервал». Он позволяет настраивать расстояние между символами, индексами, строками и скобками внутри формулы.
Определяет типы шрифтов и их формат (полужирный или курсив) для всех букв и цифр в выражении. Предустановленно 6 готовых стилей, а пункт меню «Определить» позволяет настроить собственный, но не разрешает сохранить его.
Определяет размер символов в формуле по группам (индексы, большие или маленькие символы и т. д.). Размерность используется та же, что и в текстовом редакторе (пункты или пт).
В левой части строки состояния отображаются 3 параметра: «Стиль», «Размер» и «Масштаб». Для того, чтобы применить первые 2 к уже созданной формуле, нужно выделить последнюю и выбрать в соответствующих меню желаемое значение.
Панель вставки специальных символов и конструкций
Она состоит из 19 кнопок, группирующих в себе символы определенного типа:
- Отношений (больше, меньше, равно и т. д.).
- Пробелы и многоточия, часто использующиеся для написания формул общего вида.
- Надстрочные знаки.
- Логические операторы.
- Стрелки.
- Логические символы.
- Символы теории множеств.
- Буквы греческого алфавита (большие и маленькие).
- Разнообразные скобки.
- Дроби и знаки корней.
- Интегралы.
- Матрицы.
Благодаря такому четкому делению разобраться, как вставить формулу в «Ворде-2003», не составит труда даже человеку, впервые увидевшему этот редактор.
Пример использования
В качестве примера того, как вставлять формулы в "Ворде-2003", послужит создание простейшего тригонометрического тождества «sin 2 +cos 2 =1» и ряда Тейлора. Тригонометрическое равенство создается следующим образом:
- Вписать в поле редактора формул «sin».
- Вставить степень при помощи кнопки-группы «Шаблоны верхних и нижних индексов (1 ряд, 1 иконка) и изменить ее значение на «2».
- Добавить букву «альфа» при помощи кнопки «Греческие буквы (строчные)».
- При помощи стрелок переместить курсор за степень (он должен стать обычного размера) и дописать «+cos».
- Повторить шаг 2.
- Повторить шаг 3
- Подвинуть курсор вправо и дописать «= 1».
- Закрыть окно редактора.
Ряд Тейлора только на первый взгляд выглядит сложным в создании. На деле его воссоздание занимает 2-3 минуты. Алгоритм следующий:
- Вставить знак суммы с верхним и нижним индексами, заполнить их значениями «+»k и «+»n=0 соответственно.
Эти 2 примера наглядно демонстрируют простоту создания формул и дружелюбие интерфейса по отношению к пользователю.
